Geometria é muito doido, mas depende muito do jeito que você olha. Se você fica pensando em medidas. Você está olhando para a parte chata. A parte legal é a que gera esse tipo de coisa.
Eu fiz esse balaio de gato aí usando o OpenEuclide
Ah sim. Antes, deixa eu falar um pouco. Ele é um programa de geometria dinâmica, como outros por aí, mas ele é MUITO simples, e tem uma porção de coisa faltando. Então utilizá-lo pode dar um pouco de dor de cabeça, mas faz aquilo que eu queria.
Pois bem. A brincadeira que eu fiz aí foi justamente uma translação de triangulos, e eu vou fazer meio que um passo a passo, e daí você vão entender porque tem tanta circunferência nessa bagaça aí. Então se prepara que hoje tem imagem a rodo. A primeira coisa que eu fiz foi um triângulo e um ponto ligado a um dos vértices do triângulo através de um segmento. Eu fiz isso apenas para ilustrar que aquele ponto vai estar relacionado a aquele vértice. Os outros pontos serão transportados conforme a construção.
Por que tanto círculo? Porque a brincadeira aqui é que não vale usar retas paralelas. Isso porque geometria plana não aceita reta paralela. Então a gente tem que pensar em transportar o triângulo sem utilizá-las. Pra isso a gente vai utilizar circunferências centradas nos pontos já relacionados e marcar as interseções, da seguinte forma:
Repare que um ponto está dentro das circunferências e o outro está fora. Isso é só pra ilustrar que dependendo da posição você precisa de um método diferente de transporte. Vamos lá. Vamos transportar o ponto mais próximo primeiro e para isso precisamos de uma circunferência entre o ponto de interesse e ele. Ok, eu vou dar nome a eles.
- Pedro! Os pontos estão se mexendo!
- É porque eu faço merda ás vezes. Mas as propriedades importantes estão mantidas.
Agora, munido das interseções entre as circunferências, vamos fazer circunferências centradas nessas interseções. Pega a interseção do topo que eu vou chamar de E, e toma ela como o centro de uma circunferência onde o raio é EF. F é uma das interseções da circunferência menor centrada em A. vou chamá-la de AC_o. Esse tipo de notação AB_o, determina uma esfera centrada em A com raio AB.
Aha! Agora eu preparei o ponto G pra poder fazer DG_o. Repare que o raio DG é igual ao raio AC. Então o ponto de translação de C vai estar em algum lugar dessa circunferência. Agora vamos transladar B que vai ser um pouco diferente. Pra fazer a translação de B a gente vai ter que transladar os pontos do triângulo que cortam a circunferência AD_o. Que eu vou chamá-los de H e I, e já vou fazer EH_o e EI_o. E as interseções com DA_o. Eu nomeei J o relativo a I e K o relativo a H. Isso porque eu geralmente nomeio da esquerda pra direita. Aproveitei e á fiz IJ_o e JI_o.
Eu fiz isso porque não sabemos qual é a posição da translação do ponto C. Só sabemos que ele está na circunferência DG_o. Quando fizemos o primeiro procedimento onde a achamos a circunferência onde estaria a transladação de C, transportamos pelo menos o raio. E agora iremos transportar o raio entre I e C para poder formar a transladação do triângulo ACI. Da mesma forma que achamos DG_o, vamos achar a circunferência em J que transporta o ponto C. Designei o ponto L como uma das interseções entre IJ_o e JI_o, e designei M como interseção entre IC_o e JI_o.
Repare que essa figura foi igual a anterior. Isso porque eu fiz besteira e fiquei com preguiça.
Agora é só fazer a interseção de LM_o com JI_o, a qual chamaremos de N, e traçaremos JN_o. Uma das interseções entre JN_o e DG_o forma a transladação do ponto C, a qual chamaremos de P. DP é o segmento relativo a AC. A interseção entre PJ e DK formam a transladação relativa a B, a qual chamaremos de Q. DPQ é a transladação de ABC.
- Mas, Pedro, você rodou o triângulo também!
- Pois é. Essa transladação faz uma rotação de 180 graus também.
- Ah...
- Pedro. Você também mexe os pontos e a figura parece não dar problema! Por que?
- Isso acontece porque ela está baseada em alguns fundamentos lógicos. Existem movimentos que irão desfazer esses pontos lógicos e você verá a translação indo pras cucuias, mas é um jeito interessante de transladar um triângulo sem usar retas paralelas. Isso significa que esse método funciona na maioria das geometrias.
E isso é tudo! Desculpem os atrasos, os problemas, e os contra-tempos. Mas foi divertido fazer isso!
Eu fiz esse balaio de gato aí usando o OpenEuclide
Ah sim. Antes, deixa eu falar um pouco. Ele é um programa de geometria dinâmica, como outros por aí, mas ele é MUITO simples, e tem uma porção de coisa faltando. Então utilizá-lo pode dar um pouco de dor de cabeça, mas faz aquilo que eu queria.
Pois bem. A brincadeira que eu fiz aí foi justamente uma translação de triangulos, e eu vou fazer meio que um passo a passo, e daí você vão entender porque tem tanta circunferência nessa bagaça aí. Então se prepara que hoje tem imagem a rodo. A primeira coisa que eu fiz foi um triângulo e um ponto ligado a um dos vértices do triângulo através de um segmento. Eu fiz isso apenas para ilustrar que aquele ponto vai estar relacionado a aquele vértice. Os outros pontos serão transportados conforme a construção.
Por que tanto círculo? Porque a brincadeira aqui é que não vale usar retas paralelas. Isso porque geometria plana não aceita reta paralela. Então a gente tem que pensar em transportar o triângulo sem utilizá-las. Pra isso a gente vai utilizar circunferências centradas nos pontos já relacionados e marcar as interseções, da seguinte forma:
Repare que um ponto está dentro das circunferências e o outro está fora. Isso é só pra ilustrar que dependendo da posição você precisa de um método diferente de transporte. Vamos lá. Vamos transportar o ponto mais próximo primeiro e para isso precisamos de uma circunferência entre o ponto de interesse e ele. Ok, eu vou dar nome a eles.
- Pedro! Os pontos estão se mexendo!
- É porque eu faço merda ás vezes. Mas as propriedades importantes estão mantidas.
Agora, munido das interseções entre as circunferências, vamos fazer circunferências centradas nessas interseções. Pega a interseção do topo que eu vou chamar de E, e toma ela como o centro de uma circunferência onde o raio é EF. F é uma das interseções da circunferência menor centrada em A. vou chamá-la de AC_o. Esse tipo de notação AB_o, determina uma esfera centrada em A com raio AB.
Aha! Agora eu preparei o ponto G pra poder fazer DG_o. Repare que o raio DG é igual ao raio AC. Então o ponto de translação de C vai estar em algum lugar dessa circunferência. Agora vamos transladar B que vai ser um pouco diferente. Pra fazer a translação de B a gente vai ter que transladar os pontos do triângulo que cortam a circunferência AD_o. Que eu vou chamá-los de H e I, e já vou fazer EH_o e EI_o. E as interseções com DA_o. Eu nomeei J o relativo a I e K o relativo a H. Isso porque eu geralmente nomeio da esquerda pra direita. Aproveitei e á fiz IJ_o e JI_o.
Agora é só fazer a interseção de LM_o com JI_o, a qual chamaremos de N, e traçaremos JN_o. Uma das interseções entre JN_o e DG_o forma a transladação do ponto C, a qual chamaremos de P. DP é o segmento relativo a AC. A interseção entre PJ e DK formam a transladação relativa a B, a qual chamaremos de Q. DPQ é a transladação de ABC.
- Mas, Pedro, você rodou o triângulo também!
- Pois é. Essa transladação faz uma rotação de 180 graus também.
- Ah...
- Pedro. Você também mexe os pontos e a figura parece não dar problema! Por que?
- Isso acontece porque ela está baseada em alguns fundamentos lógicos. Existem movimentos que irão desfazer esses pontos lógicos e você verá a translação indo pras cucuias, mas é um jeito interessante de transladar um triângulo sem usar retas paralelas. Isso significa que esse método funciona na maioria das geometrias.
E isso é tudo! Desculpem os atrasos, os problemas, e os contra-tempos. Mas foi divertido fazer isso!
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