Pensando Sobre Matemática #47 - Números Racionais

Algumas pessoas diriam que os números não pensam.

Só que as vezes eles realmente são racionais. Então ative o seu Javascript pra descobrir o porquê!

Mas calma, não é porque eles raciocinam. É porque eles tem a facilidade de expressar proporcionalidade, que em alguns casos tem o nome curioso de: Razão.

Você já deve ter escutado alguma expressão do tipo "Essa coisa aqui funciona em razão dessa outra." e isso é bastante comum quando estamos analisando duas quantidades que se relacionam. Se você estudou bem o português antes de vir aqui falar de matemática, certamente sabe que tudo aquilo que usa a razão é racional.

Essas proporções são muito facilmente expressas em formas de fração, que é aquela coisa que aterroriza a gente mais ou menos quando a gente tem 12 anos. Essa coisa de colocar um número em cima do outro não faz muito sentido. E as pessoas ainda vem falar pra gente que a operação de fração é uma operação de divisão. É mole!?

Só que tem um problema, isso realmente funciona. $$\frac{a}{b}=a/b$$ Essa expressão está certa. Ela é verdadeira. A coisa fica muito pior quando a gente descobre que existem outras frações que são iguais a outras! Meu deus! $$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=1/2$$ Ok. Então vamos retornar um pouco. Antes dos números racionais, nós possuíamos os números inteiros, que tinham um problema. A divisão não era fechada, ou até podemos dizer que era, só que isso implicava em termos uma representação ruim da realidade, e naquela época, pode ter certeza que a matemática tinha um compromisso sério com ela. Então, enquanto estávamos nos números inteiros, tinhamos certeza disso: $$4/2=2$$ E também tihamos certeza de que isso... $$5/2=2$$ ...Não era tão interessante assim. Essa expressão não está boa porque o resto não aparece, e se algo pode ser divisível em uma metade, isso não pode ser expresso aqui. É aí que entra os números racionais. Na verdade, qualquer número que pode ser expresso na forma de fração é um número racional, sem a definição de fração você não consegue formar o conjunto dos números racionais.

E como isso se torna util para fazer proporções? Vamos pegar um caso simples: se você sabe que seu cofre tem 100 moedas iguais, e tem certeza que nele tem R$ 10,00. Qual é a moeda que tem dentro dele? Ora podemos usar frações para gerar uma proporção. Considere que R$ 10,00 são 1000 centavos, então: $$\frac{\mathrm{1000\; centavos}}{\mathrm{100\; moedas}}$$ Agora que temos a proporção em mãos, se multiplicamos o valor de cima e o de baixo pela mesma constante sabemos que a fração resultante é equivalente, então: $$\frac{\mathrm{1000}}{\mathrm{100}}=\frac{\mathrm{1000}/\mathrm{100}}{\mathrm{100}/\mathrm{100}}=\frac{\mathrm{10\; centavos}}{\mathrm{1\; moeda}}$$ As moedas são de 10 centavos.

Repare bem que essa informação é MUITO importante: Multiplicar o divisor e o dividendo pelo mesmo número NÃO altera o resultado da divisão. É justamente isso que torna a fração tão poderosa para expressar proporcionalidade. Ah sim, obviamente, se ao invés de multiplicar os componentes da fração, você dividir pela mesma constante, o resultado é o mesmo, até porque: $$a/b=a.\frac{1}{b}$$ Sim, números racionais são muito importantes. Bem como as frações que vem com eles.