Pensando Sobre Matemática #33 - Logaritmos

Ah logaritmos. Vocês vieram e revolucionaram a matemática, só que ninguém entende vocês, então pra que vocês vieram?

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Logaritmos, não devem ser confundidos com algoritmos, e eles vieram para salvar os cientistas da época, que era mais ou menos o século 17, de fazer uns cálculos horríveis com umas potências ridiculamente grandes. Imagine você, no século XVII fazendo a seguinte conta: $$x={\mathrm{1.22}}^{\mathrm{99}}$$ E claro que obviamente a resposta dessa forma não bastaria. Você quer isso em números decimais porque você tem diversos instrumentos que medem a coisa, mas o cálculo gerado deu essa coisa bizonha aí. Ah, você acha que isso é um valor muito exorbitante. Então que tal se você, um químico, tivesse que fazer: $$x={\mathrm{0.7}}^{-<mi>12</mi>}$$ Ainda está bem ruim, mas não se preocupe porque a matemática está muito mais ligada a criatividade do que você imagina. Pensa comigo, imagine se você tivesse um jeito de pegar esses números com essas potências horrendas e pudesse trabalhar com coisas mais simples, tipo fazendo somas de dois números. Apenas imagine as pessoas fazendo isso naquele tempo. Seria mágico, e muitos cálculos poderiam ser simplificados.

Opa. Mas peraí, isso já aconteceu. E foi esse cara aqui que pensou nisso.

John Napier. Teve a brilhante idéia de fazer os logaritmos para facilitar essas operações absurdas. Se você não sabe o que é um logaritmo eu vou definir aqui pra você de uma forma matemática: $${log}_{a}c=b\leftrightarrow a^b=c$$ E a gente pode ler isso assim: O Logaritmo de "c" na base "a" é igual a "b" se, e somente se, "a" elevado a "b" é igual a "c". Em outras palavras, você vai remover os seus problemas de potências graças aos logaritmos. E o jeito de se fazer isso é muito fácil. Você pega aquela equação feia com uns termos absurdos e aplica logaritmo dos dois lados. Bem assim: $$x=y$$ $${log}_{a}x={log}_{a}y$$ Note que a transformação é feita com os logaritmos na mesma base.

Ok, mas onde está a mágica? A mágica aparece quando você precisa fazer isso aqui: $x=a^{b+d}$ Operações na área da potência. E os logaritmos tem um jeito bastante interessante de resolver isso. Se você não lembra, você pode desmembrar essa potência da seguinte forma: $$a^{b+d}=a^b.a^d$$ Se eu supor que: $$a^b=c$$ $$a^d=e$$ Eu posso dizer que: $$a^{b+d}=c.e$$ Mas pela regra do logaritmo eu posso dizer que: $${log}_a(c.e)=b+d$$ Só que pela regra do logaritmo, temos também que: $${log}_{a}c=b$$ $${log}_{a}e=d$$ Ou seja: $${log}_a(c.e)={log}_{a}c+{log}_{a}e$$ Ou seja, o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos isolados. Obviamente todos na mesma base para que essa afirmação seja verdadeira. Isso permite que você transforme multiplicações e potenciações em operações dramaticamente mais simples.

Mas como sempre, tudo tem que vir com o custo. No caso dos logaritmos, você precisava de uma tabela pra poder sair do mundo dos logaritmos para o mundo normal e alguém tinha que fazer essa tabela. Essa tabela foi construída, mas hoje em dia não é mais necessária devido ao uso dos computadores para calcular e descalcular esses valores.

Mas eles ainda assim tem uma importância muito maior do que você poderia imaginar.


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