Pensando Sobre Matemática #31 - Probabilidade + Análise Combinatória

Vamos combinar um pouco as coisas e fazer uma salada aqui.



Ahá! Este não é um artigo apenas sobre probabilidade. Pelo menos não sobre probabilidade de uma forma isolada.

Eu já fiz dois artigos curtos sobre probabilidade onde o segundo referenciava o primeiro. E bom, este aqui deve referenciar o segundo, apesar de não ser o terceiro. Eu sei que isso deu um nó na sua cabeça mas eu acho que se você ler isso uma quarta vez vai ficar tudo bem.

Agora vamos voltar pra coisa séria. A probabilidade se vale muito da análise combinatória por algumas razões. A primeira delas é a montagem de um espaço amostral simples de ser trabalhado. Isso porque os eventos simples gerados por espaço amostral tem a seguinte propriedade: Dados A e B eventos simples de um mesmo espaço amostral, é certo que:
$$P(A\cap B)=0$$ E isso é muito usado pois, como foi dito no primeiro artigo: $$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$$ Como a interseção da 0 a coisa fica muito mais simples. E você não precisa se preocupar diretamente com sobreposição de eventos.

- E aonde a análise combinatória entra nisso tudo?

A análise combinatória entra em diversos momentos. O momento mais normal é quando você tem repetição de experimentos ou agregação de experimentos diferentes. Se você estudo análise combinatória você tem uma leve noção de como funciona. Suponha que do lado da sua casa exista uma loteria na qual a chance de você ganhar é de 1%. Algum sortudo ganhou 3 vezes seguidas. Qual é a probabilidade de isso acontecer? Isso não é tão complicado, é basicamente a experiência do mesmo jogo repetida três vezes onde você pode ganhar ou perder. Se o espaço amostral de um jogo é: $${\Omega }_1=\{G,N\}$$ $$P\left(G\right)=\mathrm{0.01}$$ $$P\left(N\right)=\mathrm{0.99}$$ Supondo que o resultado dos jogos são completamente independentes e as probabilidades de vitória deles são os mesmos, podemos concatená-los: Então os resultados possíveis de dois jogos são: GG, GN, NG, NN. E o mesmo pode ser aplicado a três jogos. Note que essa concatenação é apenas uma notação para experimentos repetidos e ela é capaz de caracterizar todos os casos. Por exemplo, veja o que acontece para três jogos: $${\Omega }_3=\{\mathrm{GGG},\mathrm{GGN},\mathrm{GNG},\mathrm{GNN},\mathrm{NGG},\mathrm{NGN},\mathrm{NNG},\mathrm{NNN}\}$$ Agora resta calcular a probabilidade de todos esses resultados, mas isso não é complicado, pois funciona como se fossem experimentos independentes. E quando os eventos E e F são independentes, sabemos que: $$P(E\cap F)=P\left(A\right).P\left(B\right)$$ Basta você multiplicar então e você vai saber que a probabilidade de ele ganhar 3 vezes é: $$P\left(\mathrm{GGG}\right)=P\left(G\right).P\left(G\right).P\left(G\right)$$ $$P\left(\mathrm{GGG}\right)=\mathrm{0.01}.\mathrm{0.01}.\mathrm{0.01}=\mathrm{0.000001}$$ É uma chance pequena. Impossível? Definitivamente não, mas realmente improvável. Na verdade a vida é feita de milagres de probabilidades que simplesmente acontecem. E existem uma série desses por aí. Existe mais de uma notícia de pessoas que acertaram duas vezes seguidas na loteria.

Agora, onde entra a análise combinatória nisso tudo? Bom, a análise combinatória é simplesmente uma forma inteligente de contar coisas seguindo alguns filtros. Por exemplo, eu poderia usar análise combinatória para rapidamente saber qual é o tamanho do espaço amostral sem precisar descrevê-lo. Eu sei que ele é composto de três jogos independentes. Se em cada jogo eu posso ganhar ou perder eu posso pensar nas possibilidades dessa forma:

Na primeira jogada eu posso ganhar ou perder, eu tenho duas possibilidades
Na segunda jogada eu posso ganhar ou perder, então eu tenho duas possibilidades para cada uma das possibilidades do jogo passado. Isso são 2 x 2 = 4 possibilidades
Na terceira jogada eu tenho duas possibilidades para cada uma das situações dos dois jogos. Isso me deixa 4 x 2 = 8 possibilidades

Se você gosta de usar os termos de análise combinatória, isso é um arranjo com repetição de 2 elementos. Um arranjo com repetição de "k" elementos concatenados "n" vezes é: $$A_r(k,n)=k^n$$ Essa não é a notação padrão mas eu não lembro qual é a notação padrão pra Arranjos, Combinações e Permutações, então eu fiz como função.

Então você é capaz de rapídamente saber qual o tamanho do espaço amostral de tantas jogadas na loteria repetidas, e dá pra ver que cresce relativamente rápido. Quando tem 5 jogos seguidos fica chato, com 6 então impráticável. Você precisa de formas mais simples de extrair resultado dessas coisas.

E dependendo da métrica que você queira extrair do espaço amostral, a análise combinatória vai ser capaz de te ajudar. Contagens feitas sobre o elemento do espaço amostral geralmente são rapidamente descritas através da forma de análise combinatória. Experimentos binários como esses podem rapidamente ser mapeados utilizando o conceito de combinação. E por isso que geralmente quando se fala de um, se fala do outro, porque a análise combinatória pode agilizar os cálculos de probabilidade.

Obviamente não é sempre que isso é possível, mas a coisa é viável em muitos casos. Por exemplo, o lançamento de dois dados de 4 faces nos deixam com 16 possibilidades para serem análisadas. O lançamento de 3 dados de 6 faces nos deixam 216 possibilidades para serem analisadas. E as contagens que você gostaria da fazer podem ser amenizadas. Suponha que você quer saber qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja maior do que 6. Como calcular isso?

1. Bom, já sabemos como podemos pensar o espaço amostral, mas escrevê-lo inteiro é impraticável. Então vamos pensar em coisas que nos facilitem. Se o primeiro lance for igual a 5, então o resultado sempre vai ser maior que 6. Se pensarmos naquela forma de concatenação de espaço amostral, isso já nos dá 36 possibilidades que se enquandram no requisito.
2. Se o primeiro lance for igual a 6, são mais 36 possibilidades de graça, ou seja, já temos 72 possibilidades já das 216 obtidas sem fazer muito esforço. Agora temos que pensar nos outros lances.
3. Se o primeiro lance for 4, e o segundo lance for maior que 1, então a situação se enquadra. Isso nos dá mais 30 possibilidades. E caso o segundo lance seja 1(não tem 0), basta que o terceiro dado não seja 1, ou seja tem ainda mais 5 possibilidades. Totalizando 35.
4. Se o primeiro lance for 3, e o segundo lance for maior que 2, a situação se enquadra. Isso nos dá 24 possibilidades. Se o segundo lance for igual a 2, tem mais 5 possbilidades, e se for igual a 1 tem mais outras 4. ou seja, 24 + 9 = 33 posibilidades.
5. Se o primeiro lance for 2, e o segundo lance for maior que 3, a situação se enquadra. Isso nos dá 18 possibilidades. Se o segundo lance for igual a 3, tem mais 5 possibilidades, se for igual a 2 tem mais 4 possibilidade e se for igual a 1 tem mais 3 possibilidades. Isso nos dá, no total, 30 possibilidades.
6. Agora só falta o caso na qual o primeiro lance é 1. Se o segundo lance for maior que 4 a situação se enquadra, nos dando 12 possibilidades. Se você reparou o padrão vai ver que tem mais 5+4+3+2 = 14 possiilidades, totalizando 26.

Agora é só somar os casos. Eu não sei se você percebeu, mas eu usei o arranjo com repetição para facilitar a contagem entre as 216 situações dos lances sem precisas enumerá-las. Eu apenas verifiquei de acordo com o resultado do primeiro lance quais são as possibilidades que eu poderia ter que se enquadram no que eu estou procurando. Então a probabilidade da soma dos lances, que eu vou chamar de S, ser maior que 6 é: $$P(S>6)=\frac{\left(P\right(S>6|L_1=6)+P(S>6|L_1=5)+P(S>6|L_1=4)+P(S>6|L_1=3)+P(S>6|L_1=2)+P(S>6|L_1=1\left)\right)}{\mathrm{216}}$$ Essa probabilidade P(A|B) é chamada de probabilidade condicional. Note que $L_1$ é o resultado do primeiro lance. Então o que eu estou fazendo é a probabilidade de soma condicionada a probabilidade do primeiro lance ser algum resultado específico, e dividindo pelo total de situações possíveis existentes. O resultado disso é: $$P(S>6)=\frac{\mathrm{36}+\mathrm{36}+\mathrm{35}+\mathrm{33}+\mathrm{30}+\mathrm{26}}{\mathrm{216}}=\frac{\mathrm{196}}{\mathrm{216}}=~\mathrm{0.907407}$$ Eu também poderia fazer isso pelo caminho inverso retirando as possibilidades na qual S assume um valor 6 ou menor. Aí é questão de você conseguir enxergar o caminho mais simples pra você no meio das possíveis formas de fazer essas contagens, mas usando condicionamento e análise combinatória, foi possível facilmente fazer a verificação sem a necessidade de enumerar o espaço amostral inteiro.

Isso tudo fica melhor explicado com a formalização de Variáveis Aleatórias e Probabilidade Condicional. Coisas sobre as quais eu ainda não falei. Mas por enquanto eu paro aqui, senão eu vou acabar fugindo do escopo do texto. Valeu!


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