Pensando Sobre Matemática #28 - A Farsa de Torricelli

Evangelista Torricelli. Um famoso cientista mais conhecido por uma equação.

Só que a equação é uma farsa.

Não estou querendo demonizar Torricelli. O cara trabalhou no barômetro! Ele foi importante. Só que quando a gente tá no ensino médio, colocam a equação dele como se fosse uma mágica, e a idéia aqui é mostrar que te enganaram esse tempo todo, e bastava você olhar para os sistemas de equações que você veria a solução lá o tempo todo.

Então vamos começar listando as equações do movimento uniformemente variado! $$S_f=S_0+V_0.t+\frac{a.t^2}{2}$$ $$V_f=V_0+a.t$$ A primeira equação é bastante famosa. Geralmente ela aparece assim pois é uma forma de descrever a posição do corpo em função do tempo de uma forma extremamente simples. A segunda equação é simplesmente um jeito diferente de olhar para a velocidade do corpo baseado na aceleração, da mesma forma como você calcula o espaço baseado na velocidade quando ela é constante.

A equação de Torricelli surgiu porque o problema que ele estava olhando era diferente. As mesmas equações se aplicavam, mas o que era variável e o que era constante era diferente dos problemas clássicos de cinemática. A grande sacada de Torricelli é que ela é uma equação para a posição que independe do tempo. A equação é esta aqui: $${v_f}^2={v_0}^2+2.a.(S_f-S_0)$$ Só que ele estava interessado na verdade era em calcular a velocidade final das coisas e não a posição final sem saber qual era o tempo final percorrido. E a equação dele faz isso sem utilizar o tempo! Olha que legal.

Mas em compensação ele te diz qual é a posição final. Ou seja, ela é um grande macete, até porque no final você pode calcular o tempo decorrido usando a equação que calcula a velocidade final baseada na inicial e na aceleração. Ou melhor, nem isso. A brincadeira de Torricelli é que todas as variáveis exceto o tempo e a velocidade final. E agora vem a maravilha da álgebra linear:

Um problema linear bem posto possui a quantidade de variáveis igual a quantidade de equações.

E olha que legal. No início do texto eu passei duas equações e eu acabei de dizer que o problema utiliza duas variáveis. Resultado: Dá pra resolver o problema com aquele sistema de equações. De fato, se você isola o tempo na segunda equação: $$\frac{V_f-V_0}{a}=t$$ E substituindo na primeira equação: $$S_f=S_0+V_0.\frac{V_f-V_0}{a}+\frac{a.{\left(\frac{V_f-V_0}{a}\right)}^2}{2}$$ Se você desenvolver isso, você vai cair na equação de Torricelli. O que? Tá com preguiça!? Ok, a gente quebra esse galho pra você. Jogue o espaço inicial pro outro lado da equacão: $$S_f-S_0=V_0.\frac{V_f-V_0}{a}+\frac{a.{\left(\frac{V_f-V_0}{a}\right)}^2}{2}$$ ok, agora vamos eliminar os denominadores. O MDC disso aí é $2.a$: $$2.a.(S_f-S_0)=V_0.2.(V_f-V_0)+{(V_f-V_0)}^2$$ Mais a frente temos um produto notável. Vamos abrir essa equação: $$2.a.(S_f-S_0)=2.V_f.V_0-2.{V_0}^2+{V_f}^2-2.V_f.V_0+{V_0}^2$$ Dá pra ver quem vai somar aí nessa equação: $$2.a.(S_f-S_0)={V_f}^2-{V_0}^2$$ Eta! É a equação de Torricelli!

Ou seja, a equação de Torricelli é perfeitamente dedutível. Ela parece ser bonitinha mas no final das contas não faz nada de novo. Espero que isso tenha servido para ampliar a visão que vocês tem das equações de física.

Caso contrário, pacência.

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