Pensando Sobre Matemática #22 - O Plano Cartesiano

René Descartes era muito mais filósofo do que matemático. A frase "Cogito, ergo sum.", ou seja, "Penso, logo existo", ficou marcada pelas gerações futuras. Descartes tem lá o seu livro sobre filosofia, mas o cara fez uma contribuição muito importante para a matemática, ele possibilitou conectar geometria e álgebra, tudo graças ao sistema de eixos dispostos sobre um plano.

Esse bigodudo aí foi um dos que te sacaneou do ensino fundamental ao médio.

Mas foi por uma boa causa. O fato da álgebra estar pouco conectada com a geometria dificultou muito o trabalho de muitas pessoas. Há quem diga que se não fosse por ele, Newton e Leibniz não teriam chegado na definição da derivada. Hoje para a maioria das pessoas pode parecer intuitivo, mas nós vamos tentar esmiuçar a coisa um pouco. Isso significa que eu usarei mais imagens do que eu estou acostumado, ou do que eu gostaria. Para iniciar isso, vamos ter que pensar na reta dos números reais. Que é apenas uma forma de você enxergar os números reais. Veja bem:

Quando a gente começa a estudar os números a gente tem a noção de que os números estão dentro de um saco e que nós podemos tirá-los de lá. Essa é apenas outra forma de enxergá-los. Cada número é uma posição específica na reta dos reais como podemos notar na imagem.

A idéia do plano cartesiano é você usar duas retas de números reais para representar os pontos, como se o mundo fosse um grande tabelão e você pudesse indicar qualquer posicão em um papel usando apenas dois números. E isso é perfeitamente possível. Observe um eixo cartesiano:

São basicamente duas retas de números reais cruzadas.

E como a gente representa um ponto nesse plano? Assim ó: $$P=(x,y)$$ Isso significa o que? Imagina que o plano é um tabelão com muitas posições. O que eu disse com aquela expressão ali atrás é que o meu ponto estaria na célula cuja coluna é x, e cuja linha é y. Essa célula é exatamente um ponto no plano. Você pode pensar isso de outras formas também. Como se escolher a posição em x deslocaria a reta y até ali e depois você andaria na reta y até chegar na localização exata do ponto. A maioria das pessoas apenas liga duas perperdiculares e diz que o ponto ta ali. Que é essencialmente a mesma idéia do tabelão.

Isso é legal, pra fazer um desenho então, basta a gente descrever o conjunto de todos os pontos que pertencem ao desenho!

Só tem um problema. Se eu quiser fazer uma mísera linha, eu não tenho uma forma hábil de descrever o conjunto de todos os pontos desse linha, porque a quantidade de pontos que tem nessa linha são infinitos. Então eu preciso de uma foma mais inteligente do que simplesmente escrever todas as possibilidades. Eu preciso descrever um padrão. Eu posso usar os próprios eixos para descrever retas. Por exemplo, se eu quiser descrever uma reta horizontal nesse plano cartesiano eu posso escrever: $$R=\{P=(x,1),\forall x\}$$ Lê-se: R é o conjunto de todos os pontos P tal que y = 1 e para todo número do eixo x. Isso, parecex meio chato de se escrever, então as vezes a gente abusa da notação e escreve logo assim: $$R=(x,1),\forall x$$ Você pode fazer uma retas que vão em diagonal também. Por exemplo: $$R=(x,x),\forall x$$ Essa reta aqui é uma reta diagonal que faz até a bissetriz entre os eixos. Na verdade, todos os pontos dessa reta tem uma peculiaridade. As coordenadas do ponto na reta y são iguais os valores das coordenadas na reta x.

Na verdade você pode pegar uma reta de números fora do eixo e criar uma linha qualquer usando uma função sobre essa reta, supondo que a variável dessa reta é "t" você pode criar a seguinte curva: $$C\left(t\right)=\left(x\right(t),y(t\left)\right)$$ E é assim que a gente cria curvas no computador.

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