Pensando Sobre Matemática #17 - Transformações #3

E dando continuidade ao nosso raciocínio, vamos entender a magia da transformada de LaPlace. Já foi dito muito sobre o que ela é capaz de fazer, mas até agora não vimos nenhuma utilidade prática da coisa. Então vamos resolver esse problema!

Lembra que eu falei que a transformada pega coisas que são chatas e transforma elas em coisas operáveis? Pois é. Eu falei da função de Heaviside, também conhecida como função degrau.

Ok, mas pra que serve a função de heaviside? Bom a cara dela graficamente é algo desse tipo aqui:

Ela é um degrau, então pra que diabos serve isso? Bom, qualquer modelagem de mudanças abruptas pode envolver a função de heaviside. Você pode usar isso para modelar a aceleração de um carro. Imagine que quando o cara pisa no acelerador, o carro ganha aceleração 1, e quando o cara solta o acelerador, a aceleração cai pra zero. Da pra você imaginar como a coisa vai se comportar.

Agora quando você junta uma porção dessas coisas e soma, você não consegue somar muito bem porque você vai ter uma série de coondicionais de acordo com a posição dos degraus. E como cada degrau gera uma condição você vai ter uma função que é extremamente condicionada, ou seja, uma coisa horrenda de se escrever. Imagine que você tem vários botôes de liga e desliga, e cada botão aumenta a sua aceleração em 1. Dependendo de quando você aperta eles, a sua aceleração muda. Vamos então definir a seguinte função que diz quando um botão de aceleração foi apertado: $$h_{c,d}\left(t\right)=1,c\le t\le d$$ $$h_{c,d}\left(t\right)=0,\mathrm{c.c.(Caso\; Contrário)}$$ E tem ali também quando ele é desativado. Ele é ativado no instante c, e desativado no instante d. Agora imagine uma soma de diversos desses como a função de aceleração de alguma coisa com relação ao tempo. Podemos pegar o seguinte exemplo: $$A\left(t\right)=h_{0,3}\left(t\right)+h_{1,4}\left(t\right)+h_{2,5}\left(t\right)$$ Mas trabalhar com coisas assim é um bocado ruim, então vem a transformada ao nosso socorro. Vocês ja lembram da cara que tem a transformada. Então eu vou simplesmente colocar a transformada da função mais simples aqui: $$L\left(h_{0,1}\right(t\left)\right)=\frac{1}{s}$$ E também a forma deslocada dela: $$L\left(h_{a,\mathrm{a+1}}\right(t\left)\right)=\frac{1}{s}{e}^{-as}$$ E eu não sei se vocês notaram, mas aquela função A(t) pode ser quebrada em mais funçõeszinhas de heaviside. menores. E aí você pode tirar a transformada de LaPlace de A(t) e daí você vai obter uma coisa assim: $$L\left(A\right(t\left)\right)=\frac{1}{s}(1+2e^{-s}+3e^{-2s}+2e^{-3s}+e^{-4s})$$ O chato é que você tem que trabalhar com todo o resto que vier também transformado, mas isso poupa o trabalho que o cálculo destransformado ia dar. Ah sim, você também tem o trabalho de destransformar isso.

Ufa! Chega de transformada, semana que vem a gente começa algo novo! Bons estudos!